Buttigiegの発音を、今日2020年2月11日時点のウィキペディア英語版は、
https://en.wikipedia.org/wiki/Pete_Buttigieg
/ˈbuːtəˌdʒɛdʒ/ と、音素表記とも、音声表記ともわからない書き方で
書いている。まあ、アメリカ英語を知る人には当たり前な
/t/の有声はじき音化[ɾ]は反映していないので、そこは
音素表記的ですね。
カタカナ化するときの可能性は、
ブ／ブー
ティ／タ／ダ／ラ
ジッジ／ジェッジ
をどう組み合わせるかですね。
「ブ／ブー」
に関しては、今のところ、文字メディアは、
「ブ」一択にしている感があります。
ttと、後続子音が重ねて書かれているので、
短くした方がいいと考える人が多いのかも知れません。
「ティ／タ／ダ」
は、「ティ」か、「ダ」を良く見かけます。
「ブタ」は、豚に通ずるので、避けられている感が
あります。
これは、コリア系の전 [tʃɔn]さんが、チョンを避けて
ジョンと名乗ったり、
チンポー語が、ジンポー語になったり、
（これは中国語からの転写より、
当該の言語の音を転写したという
ことなんでしょうけど。）
というのと同じ流れですね。
後は、綴りに近い「ティ」にするか、
[ɾə]に近く、「ダ」にするか。
でも、「ラ」にまではしないんですね。
t, ttを、有声化、（はじき音化、）を反映した
カナにすることって、今まではあんまりして
いないですけど。
アニタをアニーダにしたり、
ベティーをベディーにしたりは
普通しないです。
なので、そこは新しい。
第二強勢のある[dʒɛdʒ]は、ジェッジ一択でしょうかね。
ということで、ブティジェッジと、ブダジェッジを
今後目にすることが多くなるのでしょう。